Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir sind ja in dem Kapitel über spezielle Differentialgleichungen erste Ordnung. Wir

haben jetzt schon vier Typen kennengelernt, die man explizit lösen kann. Die erste Methode war

ja die Trennung der Variablen. Das ist die Basismethode. Mit der Trennung der Variablen

konnten wir dann auch homogene lineare Differentialgleichungen lösen, aber die

inhomogenen linearen Differentialgleichungen haben wir mit einem anderen Verfahren gelöst. Das ist

die Variation der Konstanten. Das ist unser zweiter Ansatz. In der letzten Vorlesung haben wir dann

noch die Ähnlichkeits-Differentialgleichungen kennengelernt. Da ist die rechte Seite eine

Funktion des Quotienten y durch x und danach haben wir die Bernoulli-Differentialgleichungen

gesehen. Die kann man durch eine spezielle Substitution wieder auf eine lineare Differentialgleichung

zurückführen. Heute kommen wir zu zwei weiteren Typen. Das sind die Riccati-Differentialgleichungen

und die exakten Differentialgleichungen. Wir beginnen also mit den Riccati-Differentialgleichungen.

Das ist jetzt der fünfte Typ von Differentialgleichungen. Eine Differentialgleichung der Form y' ist gleich

P von x mal y. Das sieht jetzt aus wie eine lineare homogene Differentialgleichung, aber

dazu kommt noch R von x mal y zum Quadrat. Also hier haben wir noch einen quadratischen Termin y und

das sieht jetzt aus wie eine Bernoulli-Differentialgleichung mit so einem N gleich zwei Exponenten.

Aber bei der Riccati-Differentialgleichung kommt noch ein additiver Term q von x, also ein

inhomogener Term hinzu. Bei der Bernoulli-Differentialgleichung ist ja die Null immer eine konstante Lösung.

Das ist hier im Allgemeinen nicht so. Wenn das q umgleich Null ist, ist das nicht so.

Das ist die Form unserer Riccati-Differentialgleichung. Die rechte Seite ist also ein Polynom zweiten

Grades in y, wobei die Koeffizienten x abhängig sein können. Und die heißt dann Riccati-Differentialgleichung.

Achten Sie auf die Schreibweise. Der Riccati schreibt sich mit Doppel C und einem T.

Das heißt Riccati-Differentialgleichung. Das ist also eine gewisse Erweiterung der Bernoulli-Differentialgleichungen,

aber andererseits schränkt man diesen Exponenten N auf den Fall N gleich zwei ein.

Für q von x gleich Null erhält man eine Bernoulli-Differentialgleichung mit N gleich zwei.

Das Verfahren für die Riccati-Differentialgleichungen funktioniert etwas anders als wir es bisher gesehen haben.

Um unser Verfahren zu starten, brauchen wir nämlich eine spezielle Lösung dieser Riccati-Differentialgleichung.

Wenn man eine Lösung der Riccati-Differentialgleichung kennt, dann kann man daraus die allgemeine Lösung berechnen.

Also falls eine spezielle Lösung unserer Differentialgleichung Stern bekannt ist,

kann man daraus auch die allgemeine Lösung berechnen.

Das Problem dabei ist, wie bekommt man diese spezielle Lösung?

Das ist so eine Art Rätsel und deshalb erhält man sie auch durch Raten.

Da macht man dann einfache Ansätze.

Man kann ja die Exponentialfunktion ausprobieren oder Polinome von Grad eins und Grad zwei.

Wenn man es dann nicht findet, dann hat man eben Pech gehabt.

Aber wie funktioniert es jetzt, wenn man so eine spezielle Lösung kennt?

Das formulieren wir als Satz.

Wir haben hier auch wieder eine Substitution.

Wir führen eine neue Funktion Z ein und für diese Funktion Z gibt es dann eine Linear-Differentialgleichung,

die wir lösen können und bei der Substitution verwendet man diese spezielle Lösung.

Das ist der Satz, dass U von X eine spezielle Lösung der Riccati-Differentialgleichung ist.

Mit der Substitution S sieht folgendermaßen aus.

Das Y von X ist die gesuchte Lösungsfunktion.

Das ist gleich U von X, das ist die bekannte spezielle Lösung.

Dann kommt dazu plus eins durch Z von X.

Das Z von X erfüllt dann eine lineare Differentialgleichung.

Diese Substitution nennen wir S.

Mit der Substitution erhält man für Z die lineare Differentialgleichung.

Die Nennung L, Z' ist gleich.

Jetzt kommt ein Minuszeichen, dann P plus zwei mal U mal R, das ist der Faktor vor dem Z.